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title: 四元数学习笔记
date: 2023-10-25 13:16:32
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# 前言
推荐学习视频：
- [四元数的可视化](https://www.bilibili.com/video/BV1SW411y7W1/?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=d47c0bb42f9c72fd7d74562185cee290)
- [四元数和三维转动，可互动的探索式视频](https://www.bilibili.com/video/BV14Y4y1z7xW/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1&vd_source=d47c0bb42f9c72fd7d74562185cee290)

另外作者还建立了一个四元数可视化网站： https://eater.net/quaternions ，点击里面的教学视频之后点击正方上的按钮就可以停止播放视频，并且可以手动操作四元数。

# 四元数
是一个四维数值系统用于描述三维空间关系。（现在主要用于描述旋转）

四元数的表达形式为：
$$q = w + xi + yj +zk$$

ijk可以分别理解为使用虚数来表示x、y、z3个轴的旋转值，使用一个实数w作为Scale。
本身就可以理解为球形角度映射到一根轴上。举例：假设在二维坐标轴中，i,j即为x,y轴的坐标值。扩展到三维即i,j,k为x,y,z的坐标值。

## 四元数与旋转矩阵
图中的绿色、红色、蓝色部分分别是四元数的i j k的数据。
![800](https://cdn.jsdelivr.net/gh/blueroseslol/ImageBag@latest/ImageBag/Images/20231025141119.png)



# 计算规则
四元数可用一般分配率来计算，其虚部遵循以下规则：
$$i^2+j^2+k^2=-1$$
$$ij = -ji =k$$
$$jk=-ky=i$$
$$ki=-ik=j$$

# 旋转规则
以垂直关系依次旋转每个轴。 

## 右手定理
>视频作者为了方便理解创建出的理论。当i的数值从0=>i时，垂直于x轴的yz平面就会按照右手方向（逆时针）进行旋转。

PS.该定理是建立在使用左乘规则的基础上，如果使用右乘，就需要变成左手定理。

## 左乘规则
$$q \cdot p$$
可以看做为使用四元数q对点P进行了旋转。
所以四元数乘法不满足交换律。
$$q \cdot p \neq p \cdot q$$

右乘规则顺序相反。