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四元数学习笔记	2023-10-25 13:16:32			⭐

前言

推荐学习视频：

另外作者还建立了一个四元数可视化网站： https://eater.net/quaternions ，点击里面的教学视频之后点击正方上的按钮就可以停止播放视频，并且可以手动操作四元数。

四元数

是一个四维数值系统用于描述三维空间关系。（现在主要用于描述旋转）

四元数的表达形式为：

q = w + xi + yj +zk

ijk可以分别理解为使用虚数来表示x、y、z3个轴的旋转值，使用一个实数w作为Scale。本身就可以理解为球形角度映射到一根轴上。举例：假设在二维坐标轴中，i,j即为x,y轴的坐标值。扩展到三维即i,j,k为x,y,z的坐标值。

四元数与旋转矩阵

图中的绿色、红色、蓝色部分分别是四元数的i j k的数据。

计算规则

四元数可用一般分配率来计算，其虚部遵循以下规则：

i^2+j^2+k^2=-1 ij = -ji =k jk=-ky=i ki=-ik=j

旋转规则

以垂直关系依次旋转每个轴。

右手定理

视频作者为了方便理解创建出的理论。当i的数值从0=>i时，垂直于x轴的yz平面就会按照右手方向（逆时针）进行旋转。

PS.该定理是建立在使用左乘规则的基础上，如果使用右乘，就需要变成左手定理。

左乘规则

q \cdot p

可以看做为使用四元数q对点P进行了旋转。所以四元数乘法不满足交换律。

q \cdot p \neq p \cdot q

右乘规则顺序相反。

在3D世界中使用四元数来控制旋转

使用四元数将物体旋转，需要使用到"夹心乘法"

p \rightarrow q\cdot p \cdot q^-1

四元数规范化

x^2 + y^2 + z^2 =1

四元数乘法

q_1q_2=(a+bi+cj+dk)(e+fi+gi+hk)

<EFBFBD>1<EFBFBD>2=(<28>+<2B><>+<2B><>+<2B><>)(<28>+<2B><>+<2B><>+ℎ<>)

<EFBFBD>1<EFBFBD>2=<3D><>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>+<2B>ℎ<EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>2+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B>ℎ<EFBFBD><E2848E>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>2+<2B>ℎ<EFBFBD><E2848E>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B>ℎ<EFBFBD>2

使用 <EFBFBD>2=<3D>2=<3D>2=<3D><><EFBFBD>=−1 化简上述等式

可以看到前面的系数可以写成一个矩阵

所以可以得到矩阵形式

四元数求反

inline QQuaternion QQuaternion::inverted() const
{
    // Need some extra precision if the length is very small.
    double len = double(wp) * double(wp) +
                 double(xp) * double(xp) +
                 double(yp) * double(yp) +
                 double(zp) * double(zp);
    if (!qFuzzyIsNull(len))
        return QQuaternion(float(double(wp) / len), float(double(-xp) / len),
                           float(double(-yp) / len), float(double(-zp) / len));
    return QQuaternion(0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f);
}

四元数复合旋转

q_{next}=q_2q_1 v'=q_2q_1vq_1^*q_2^*

q*为反函数。

FBX

四元数旋转顺序 xyz 可以使用 FbxNode::RotationOrder 了解其顺序。

旋转xyz分别为 the "roll" about the x-axis along the plane,
the "pitch" about the y-axis which extends along the wings of the plane,
and the "yaw" or "heading" about the z-axis

Qt

Qt中四元数旋转顺序zyx 或 yxz 旋转xyz分别为pitch yaw roll

UE

UE中四元数的旋转顺序为zyx。其中旋转X轴为Roll，旋转Y轴为Pitch，旋转Z轴为Yaw

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前言

四元数