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title: 四元数学习笔记
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date: 2023-10-25 13:16:32
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tags:
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rating: ⭐
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# 前言
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推荐学习视频：
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- [四元数的可视化](https://www.bilibili.com/video/BV1SW411y7W1/?spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=d47c0bb42f9c72fd7d74562185cee290)
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- [四元数和三维转动，可互动的探索式视频](https://www.bilibili.com/video/BV14Y4y1z7xW/?spm_id_from=333.788.recommend_more_video.1&vd_source=d47c0bb42f9c72fd7d74562185cee290)
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另外作者还建立了一个四元数可视化网站： https://eater.net/quaternions ，点击里面的教学视频之后点击正方上的按钮就可以停止播放视频，并且可以手动操作四元数。
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# 四元数
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是一个四维数值系统用于描述三维空间关系。（现在主要用于描述旋转）
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四元数的表达形式为：
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$$q = w + xi + yj +zk$$
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ijk可以分别理解为使用虚数来表示x、y、z3个轴的旋转值，使用一个实数w作为Scale。
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本身就可以理解为球形角度映射到一根轴上。举例：假设在二维坐标轴中，i,j即为x,y轴的坐标值。扩展到三维即i,j,k为x,y,z的坐标值。
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## 四元数与旋转矩阵
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图中的绿色、红色、蓝色部分分别是四元数的i j k的数据。
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# 计算规则
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四元数可用一般分配率来计算，其虚部遵循以下规则：
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$$i^2+j^2+k^2=-1$$
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$$ij = -ji =k$$
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$$jk=-ky=i$$
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$$ki=-ik=j$$
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# 旋转规则
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以垂直关系依次旋转每个轴。
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## 右手定理
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>视频作者为了方便理解创建出的理论。当i的数值从0=>i时，垂直于x轴的yz平面就会按照右手方向（逆时针）进行旋转。
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PS.该定理是建立在使用左乘规则的基础上，如果使用右乘，就需要变成左手定理。
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## 左乘规则
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$$q \cdot p$$
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可以看做为使用四元数q对点P进行了旋转。
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所以四元数乘法不满足交换律。
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$$q \cdot p \neq p \cdot q$$
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右乘规则顺序相反。
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# 在3D世界中使用四元数来控制旋转
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使用四元数将物体旋转，需要使用到"夹心乘法"
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$$p \rightarrow q\cdot p \cdot q^-1$$
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## 四元数规范化
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$$x^2 + y^2 + z^2 =1$$
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## 四元数乘法
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$$q_1q_2=(a+bi+cj+dk)(e+fi+gi+hk)$$
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<EFBFBD>1<EFBFBD>2=(<28>+<2B><>+<2B><>+<2B><>)(<28>+<2B><>+<2B><>+ℎ<>)
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<EFBFBD>1<EFBFBD>2=<3D><>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>+<2B>ℎ<EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>2+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B>ℎ<EFBFBD><E2848E>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD>2+<2B>ℎ<EFBFBD><E2848E>+<2B><><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B><><EFBFBD><EFBFBD>+<2B>ℎ<EFBFBD>2
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使用 <EFBFBD>2=<3D>2=<3D>2=<3D><><EFBFBD>=−1 化简上述等式
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<EFBFBD>1<EFBFBD>2=(<28><>−<EFBFBD><E28892>−<EFBFBD><E28892>−<EFBFBD>ℎ)+......(<28><>+<2B><>−<EFBFBD><E28892>+<2B>ℎ)<29>+.......(<28><>+<2B><>+<2B><>−<EFBFBD>ℎ)<29>+......(<28><>−<EFBFBD><E28892>+<2B><>+<2B>ℎ)<29>
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可以看到前面的系数可以写成一个矩阵
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所以可以得到矩阵形式
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## 四元数求反
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```c++
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inline QQuaternion QQuaternion::inverted() const
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{
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// Need some extra precision if the length is very small.
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double len = double(wp) * double(wp) +
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double(xp) * double(xp) +
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double(yp) * double(yp) +
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double(zp) * double(zp);
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if (!qFuzzyIsNull(len))
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return QQuaternion(float(double(wp) / len), float(double(-xp) / len),
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float(double(-yp) / len), float(double(-zp) / len));
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return QQuaternion(0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f);
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}
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```
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## 四元数复合旋转
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$$q_{next}=q_2q_1$$
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$$v'=q_2q_1vq_1^*q_2^*$$
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`q*`为反函数。
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# FBX
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四元数旋转顺序 xyz
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可以使用
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`FbxNode::RotationOrder`
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了解其顺序。
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旋转xyz分别为
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the "roll" about the x-axis along the plane,
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the "pitch" about the y-axis which extends along the wings of the plane,
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and the "yaw" or "heading" about the z-axis
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# Qt
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Qt中四元数旋转顺序zyx 或 yxz
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旋转xyz分别为pitch yaw roll
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# UE
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UE中四元数的旋转顺序为**zyx**。其中旋转X轴为Roll，旋转Y轴为Pitch，旋转Z轴为Yaw |